Question

如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．

（1）求证：BG=GF；

（2）求CG的长；

（3）求证：AG∥CF。

Answer

（1）证明见解析；（2）CG=3；（3）证明见解析

【解析】（1）由正方形的性质和折叠的性质可得△ABG≌△AFG，利用全等三角形的性质即可得出BG=GF；

（2）设BG＝FG＝x，在Rt△CEG中，根据勾股定理得（2＋x）2＝42＋（6－x）2，解得x值，进而得到CG的值．

（3）由（1）（2）可得△FGC是等腰三角形，再证∠FCG＝∠AGB即可证明AG∥CF．

（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝∠C＝90º，

又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，

∴∠AFG＝∠AFE＝∠D＝90º，AF＝AD，

即有∠B＝∠AFG＝90º，AB＝AF，AG＝AG，

∴△ABG≌△AFG；

∴BG=GF

（2）∵AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，∴DE＝FE＝2，CE＝4，

不妨设BG＝FG＝x，（x＞0），则CG＝6－x，EG＝2＋x，

在Rt△CEG中，（2＋x）2＝42＋（6－x）2，

解得x＝3，

∴GC＝6-3＝3；

（3）∵BG=GF ，BG=CG=3

∴CG=GF，

∴∠FCG＝∠CFG

∵△ABG≌△AFG

∴∠AGB＝∠AGF

∵∠FGC+∠FCG+∠CFG=180°

∠FGC+∠AGB+∠AGF=180°

∴∠FCG＝∠AGB

∴AG∥CF

点睛：本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识．综合利用所学知识进行推理证明是解题的关键.