Question

△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向

以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer

（1）y与t的函数关系式为

（2）当时，四边形MNQP为矩形 ；

（3）当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.

【解析】试题分析：（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM=AM•PM得出y与t的函数关系式，（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值，（3）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值．

试题解析：（1）当点P在AC上时，

∵AM=t ，

当点P在BC上时，

（2）∵AC=2，∴AB=4，∴BN=AB-AM-MN=4-t=3-t

由条件可知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，

，

∴△PQC∽△ABC，

除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△△ABC，

，

∴AP=2AM=2t，

∴CP=2-2t，

，

，

点睛：本题考查了相似综合题.利用了锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积公式求解，运用了数形结合的思想来解决图形变化的问题.能综合运用性质进行推理是解题的关键.