Question

如图，矩形的长为4，宽为a（a<4），剪去一个边长最大的正方形后剩下一个矩形，同样的方法操作，在剩下的矩形中再剪去一个最大的正方形，若剪去三个正方形后，剩下的恰好是一个正方形，则最后一个正方形的边长是________.

Answer

1或

【解析】如图所示：同样的方法操作3次后最后一个正方形的边长有以下四种可能：

∵最后一个四边形是正方形，

∴有4−2a−a=a或a−4+2a=4−2a或2a−4−4+a=4−a或4−a−2a+4=2a−4，

解之得a=1或a=或a=3或a=.

∴①当a=1时，最后一个正方形的边长为1

②当a=时,则a−4+2a=,而4−2a=,即： ≠，故最后一个四边形不是正方形。

③当a=3时，2a−4−4+a=1，4−a=1，即最后一个正方形的边长为1

④当a=时,4−a−2a+4=,2a−4=,即最后一个正方形的边长为,

综上所述,最后一个正方形的边长是或1

故：答案为或1.

点睛：第一次操作后剩余长方形的两边分别是（4-a）与a，因为无法判断（4-a）与a的大小，故该长方形的长和宽有两种可能，第二次操作后的情形与第一次操作后的情形一样，依此类推第三次操作后的四边形的两边就有四种可能，具体分析求取所求．