Question

如图所示，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H．

(1)求证：△PHC≌△CFP；

(2)证明四边形 PEDH和四边形 PGBF都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系。

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．

【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；

（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．

∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．

∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF=∠CPH．

在△PHC和△CFP中，∵∠CPF=∠PCH，PC=CP，∠PCF=∠CPH，∴△PHC≌△CFP（ASA）．

（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠B=90°．

又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．

∵EF∥AB，∴∠CPF=∠CAB．

在Rt△AGP中，∠AGP=90°，PG=AG•tan∠CAB．

在Rt△CFP中，∠CFP=90°，CF=PF•tan∠CPF．

S矩形DEPH=DE•EP=CF•EP=PF•EP•tan∠CPF；

S矩形PGBF=PG•PF=AG•PF•tan∠CAB=EP•PF•tan∠CAB．

∵tan∠CPF=tan∠CAB，∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．

考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．