Question

如图，我市云台山景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，现在市政府决定开发风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30º方向12km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75º方向上．已知AB=km．

（1）现准备由景点Ｄ向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

（2）求出景点B与景点C之间的距离(结果保留根号)．

Answer

（1）6km;（2）.

【解析】试题分析:(1) 过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题;(2)Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．

试题解析: (1)如图，过点D作DE⊥AC于点E，

过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，

在Rt△DAF中,∠ADF=30°，

∴AF=AD=×12=6，

∴DF===6，

在Rt△ABF中BF===2，

∴BD=DF−BF=6-2=4，

sin∠ABF==，

在Rt△DBE中,sin∠DBE=，

∵∠ABF=∠DBE，

∴sin∠DBE=，

∴DE=BD⋅sin∠DBE=×4=6(km)，

∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是6km；

(2)由题意可知∠CDB=75°，

由(1)可知sin∠DBE=,所以∠DBE=60°，

∴∠DCB=180°−75°−60°=45°，

在Rt△DCE中，CE=DE=6 (km)，

在Rt△DBE中, ∠BDE=75°-45°=30°,

∴BE=BD= (km),

∴BC=6+ (km)

∴景点B与景点C之间的距离为6+km.