Question

如图， 中， ，以为直径的交于点，过点的切线交于．

（1）求证： ；（2）若，求的长．

Answer

（1）证明见解析;（2）5.

【解析】试题分析: （1）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根据切线的判定定理知BC是圆的切线，结合切线长定理得到BE=DE，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明DE=CE；

（2）在直角三角形ABC中，根据锐角三角函数的概念以及勾股定理计算它的三边．再根据相似三角形的判定和性质进行计算．

试题解析: (1)证明：连接BD，

∵AB是直径,∠ABC=90°，

∴BC是O的切线,∠BDC=90°.

∵DE是O的切线，

∴DE=BE(切线长定理).

∴∠EBD=∠EDB.

又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，

∴∠DCE=∠CDE，

∴DE=CE.

故DE=BC.

(2)由(1)知，BC=2DE=6.

在Rt△ABC中,AB=BCtanC=6×=3，

AC==9.

∵∠ADB=∠ABC=90°，∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB.

∴，

∴.

解得AD=5.