Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（20，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．

（1）当∠AOB=30°时，求弧OB的长度；

（2）当DE=16时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此

时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）;（2）6或24;（3）E点为

【解析】试题分析: （1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=10，根据弧长公式求解；

（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=20，又DE=16，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．

试题解析: (1)连接BC,

∵A(20,0)，∴OA=20，CA=10，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的长==；

(2)①若D在第一象限，

连接OD，

∵OA是⊙C直径,

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=20，

在Rt△ODE中，

OE==，

∴AE=AO−OE=20−12=8，

由∠AOB=∠ADE=90°−∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴,即，

∴EF=6；

②若D在第二象限，

连接OD,

∵OA是⊙C直径，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE==，

∴AE=AO+OE=20+12=32，

由∠AOB=∠ADE=90°−∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴,即，

∴EF=24；

∴EF=6或24；

(3)设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E. C. F为顶点的三角

形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC

中点,即OE=5，

∴E₁ (5,0)；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=10−x，AE=20−x，

∴CF∥AB,有CF=AB，

∵△ECF∽△EAD，

∴,即,解得：x=，

∴E₂ (,0)；

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF>∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,

连接BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，

∴，

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴CFAD=CEAE，

而AD=2BE，

∴，

即,解得x ₁ =,x ₂ =<0(舍去)，

∴E₃ (,0)；

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

连接BE,得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴，

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90∘，

∴△CEF∽△AED，

∴，

而AD=2BE，

∴，

∴，

解得x₁=,x₂= (舍去)，

∵点E在x轴负半轴上，

∴ (,0)，

综上所述：存在以点E. C. F为顶点的三角形与△AOB相似，

此时点E坐标为：E点为.

点睛: 解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.