Question

先阅读材料，再解答下列问题：

我们已经知道，多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：(2a＋b) (a＋b)＝2a²＋3ab＋b²就可以用图①或图②等图形的面积来表示．

(1)请写出图③所表示的代数恒等式：

(2)画出一个几何图形，使它的面积能表示(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc．

(3)请仿照上述方法写出另一个含a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．

Answer

(1)(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋5ab＋2b2；(2)见解析；(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据长为2a+b、宽为a+2b的矩形面积等于2个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、3个长为a宽为b的矩形面积和，可得等式；（2）画一个边长为a+b+c的正方形，即可得；（3）不唯一，如：（x+p）（x+q）=x2+（p+q） x+pq，画长为x+q、宽为x+p的矩形即可得．

试题解析：(1)(2a+b)(a+2b)=2 a2+2a·2b+ a·b+ b2=2a2＋5ab＋2b2；

(2)如图①，

(3)(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，

如图②，

故答案为：(1)(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2.

点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题.注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键.常见的验证完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，其几何图形是用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系.