Question

已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．

（1）求证： BE平分∠ABD；

（2）当BD=2，sinC=时，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：连接OE，根据等腰三角形三线合一的性质和切线的性质得出OE⊥AC， BD⊥AC，证得OE∥BD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可证得结论；

（2）根据sinC=求出AB=BC=4，设⊙O的半径为r，则AO=4-r，得出sinA=sinC，根据OE⊥AC，得出sinA，即可求出半径.

试题解析：（1）证明：连接OE，∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC

∵AB=BC且D是BC中点，∴BD⊥AC，

∴OE∥BD，∴∠OEB=∠DBE

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB

∴∠ABE=∠DBE，∴BE平分∠ABD

（2）∵BD=2，sinC=，BD⊥AC∴BC=4，∴AB=4

设⊙O的半径为r，则AO=4-r

∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=

∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC

∴sinA===，∴r=