Question

设都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．

（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此一次函数的解析式．

Answer

（1）是（2） 一次函数的解析式为或．

【解析】试题分析：（1）根据反比例函数的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组 或 ，通过解该方程组即可求得系数k、b的值.

试题解析：（1）是

由函数的图象可知，当时，函数值随着自变量的增大而减少，而当时， ； 时， ，故也有，

所以，函数是闭区间上的“闭函数”．

（2）因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：

①当时， ，解之得．

∴一次函数的解析式为．

②当时， ，解之得．

∴一次函数的解析式为．

故一次函数的解析式为或．