Question

已知点A（3，4），点B为直线x=−1上的动点，设B（－1，y）．

（1）如图①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB时，求点B的坐标；

（2）如图②，若点C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C；

①当x=0时，求tan∠BAC的值；

②若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当点C在什么位置时tanα的值最大？

Answer

⑴B（-1，1）或B（-1，7）⑵① ②当C(1，0)时，tanα有最大值

【解析】试题分析：（1）在Rt△ABE中，根据勾股定理得到，得到结论；

（2）①由C（x，0），当x=0时，点C与O重合，如图，设直线x=-1与x轴交于G点，过A作AF⊥x轴，通过△AOF∽△OBG可得结果；

②设直线x=-1与x轴交于H，且AF⊥X

于F，根据平行线的性质得到∠ABH=α由三角形函数得到tanα=，根据相似三角形的性质可得，于是得到二次函数，配方后根据二次函数的性质可求解.

试题解析：⑴如图，在Rt△ABE中（4-y）2+42=52；

解得y=1或7 ∴B（-1，1）或B（-1，7）

⑵①易证△AOF∽△OBG

∴BO:AO=OG:AF=1：4 ∴tan∠BAC(或者tan∠BAO)=

②由平行可知：∠ABH=α，在Rt△ABE中tanα=，

∵ tanα随BH的增大而减小，∴当BH最小时tanα有最大值；即BG最大时，tanα有最大值。

易证△ACF∽△CBG 得BG/CF=CG/AF y/x-3=x+1/4

y=-（x+1）（3-x）=-（x-1）2+1

当x=1时，ymax=1 当C(1，0)时，tanα有最大值