Question

如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD．

（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．

①依题意补全图1；

②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；

（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；

（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明．

Answer

（1）①图形见解析②AE=BD（2）判断： （3）判断，证明见解析

【解析】试题分析：（1）①根据题意画图即可；

②连接AC，证明△BCD≌△ACE即可；

（2）连接DE，可证三角形ADE为直角三角形，由勾股定理即可得出结论；

（3）将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF、EA，证明△BCD≌△ACE和直角三角形AEF，结合勾股定理即可证明.

试题解析：（1）①补全图形,如图1

②判断: AE=BD

证明：如图2，连接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60° ∴△ABC是等边三角形

∴∠ACB=60°，且CA=CB∵将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE ∴CD=CE，且∠DCE=60°

∴∠BCD=∠ACE

∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴AE=BD

（2）判断：

（3）判断：

证明：如图3,连接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60°

∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，且CA=CB

将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF、EA

∴CE=CF，且∠FCE=60°，∴△CEF是等边三角形

∴∠CFE=60°，且FE=FC，∴∠BCF=∠ACE

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴AE=BF

∵∠AFC=150°, ∠CFE=60°，∴∠AFE=90°

在Rt△AEF中， 有：

∴.