Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数（x>0）的图象交于P（n，2），与轴交于A（﹣4，0），与y轴交于C，PB⊥轴于点B，且AC=BC．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．

Answer

（1）一次函数解析式为y=x+1，反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=；

（2）反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．

【解析】试题分析：（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；

（2）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．

试题解析：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-4，0），

∴O为AB的中点，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

将A（-4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：

，

解得：k=，b=1，

∴一次函数解析式为y=x+1，

将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=．

（2）如图所示，

当PB为菱形的对角线时，

∵四边形BCPD为菱形，

∴PB垂直且平分CD，

∵PB⊥x轴，P（4，2），

∴点D（8，1）．

当PC为菱形的对角线时，PB∥CD，

此时点D在y轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在．

综上所述，点D（8，1）．

考点：反比例函数综合题．