Question

如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点．

（1）求出A，B两点的坐标；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣8，0），B（0，﹣6）;（2）；（3）存在．P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）时，使得．

【解析】分析：（1）令已知的直线的解析式中x=0，可求出B点坐标，令y=0，可求出A点坐标；（2）根据A、B的坐标易得到M点坐标，若抛物线的顶点C在⊙M上，那么C点必为抛物线对称轴与⊙O的交点；根据A、B的坐标可求出AB的长，进而可得到⊙M的半径及C点的坐标，再用待定系数法求解即可；

（3）在（2）中已经求得了C点坐标，即可得到AC、BC的长；由圆周角定理:

∠ ACB=90°，所以此题可根据两直角三角形的对应直角边的不同来求出不同的P点坐标．

本题解析：（1）对于直线，当时， ；当时，

所以A（﹣8，0），B（0，﹣6）；

（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，

∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y轴，MC=5，∴C（﹣4，2），

设抛物线的解析式为y=a(x+4)²+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a= ，

∴抛物线的解析式为 ，即；

（3）存在．

当y=0时， ，解得x，=﹣2，x，=﹣6，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

，

设P（t， -6），

∵

∴=20，

即||=1，当=-1，

解得， ，

此时P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）；

当时 ，解得=﹣4+， =﹣4﹣；

此时P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）．

综上所述，P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）时，使得．

点睛：本题考查了二次函数的综合应用及顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程的解法，本题的综合性较强，注意分类讨论的思想应用.