Question

如图，已知点A从点（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C在第一象限内，且∠AOC=60°，点P的坐标为（0，3），设点A运动了t秒，求：

（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）点A在运动过程中，当t为何值时，使得△OCP为等腰三角形？

Answer

（1）点C的坐标为：（（1+t），（1+t））；（2）当t=﹣1，t=2，t=3﹣1时，均可使得△OCP为等腰三角形．

【解析】试题分析：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，解直角三角形CHO，求出OH，CH的长，即可求出点C的坐标；

（2）因为等腰三角形OCP的腰和底不确定所以要分三种情况分别讨论：①当以O为等腰三角形顶点时；②当以C为等腰三角形顶点时；③当以P为等腰三角形顶点时，求出t的值即可．

【解析】
（1）过点C作CH⊥x轴于点H，

根据题意得：OA=1+t，

∵四边形OABC是菱形，

∴OC=OA=1+t，

∵∠AOC=60°，

∴OH="OC"cos60°=OC=（1+t），CH="OC"sin60°=（1+t），

∴点C的坐标为：（（1+t），（1+t））；

（2）①当以O为等腰三角形顶点时，OC=OP，

∴1+t=3，

∴t=2；

②当以C为等腰三角形顶点时，PC=OC，则CH=OP=，

即（1+t）=，

解得：t=﹣1；

③当以P为等腰三角形顶点时，OP=PC，∠POC=30°，则Q（0，），

∴OC=3，

∴1+t=3，

∴t=3﹣1，

综上可知，当t=﹣1，t=2，t=3﹣1时，均可使得△OCP为等腰三角形．

考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．