Question

课题学习

问题背景1 甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，

（1）①在图1中画出旋转后的图形；②图1中，与线段AE垂直的线段是           ，说明你的理由；

问题背景2  在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF。继续探索时，

甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF=BF+DE；

乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值；

丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式BN²+DM²=MN²

（2）请你对甲、乙、两三人中一个结论进行研究，作出判断，并说明你的理由。

Answer

(1) ①作图见解析;②AK⊥AE,理由见解析;(2) 甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的.理由见解析.

【解析】试题分析: （1）根据图形旋转前后所构成的两图形全等画出图形即可；

（2）①选择甲，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，可得出∠KAF=∠FAE，进而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性质及BK=DE可得出EF=BF+DE；

②选择乙，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性质可得到△AKF≌△AEF，再根据BK=DE即可得出△CEF周长为定值；

③选择丙，在AK上截取AG=AM，连接BG，GN，由图形旋转的性质可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2．

试题解析:

画图如图1，

延长CB至K，使BK=DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90∘，

∴△ADE≌△ABK，

∴∠DAE=∠BAK，

∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90∘，

∴AK⊥AE.

故答案为AK⊥AE.

(2)选择甲发现：

证明：如图2，

延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED，

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

∵AK=AE，AF=AF，

∴△AKF≌△AEF.

∴KF=EF.

又∵BK=DE，

∴EF=BF+DE

选择乙发现：

证明：如图2，

延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

∵AK=AE，AF=AF，

∴△AKF≌△AEF.

∴KF=EF.

又∵BK=DE，

∴EF=BF+DE

△CEF周长=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)

选择丙发现：

证明：如图3，

在AK上截取AG=AM，连接BG，GN.

∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，

∴△ABG≌△ADM，

∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°.

又∵∠ABD=45°，

∴∠GBD=90°.

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

又∵AG=AM，AN=AN，

∴△GAN≌△NAM.

∴NG=MN，

∵∠GBD=90°，

∴BG ²+BN ²=NG ²，

∴BN ²+DM ²=MN ².

综上所述：甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的。

点睛:本题考查的是图形的旋转,通过旋转,利用全等三角形,发现边的关系,再利用直角三角形的勾股定理找到三条线段的平方关系,利用构造法证明△AKF≌△AEF, △GAN≌△NAM是解答此题的关键.