Question

如图，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①：②：③：④．其中正确的结论有（    ）

A. 1个                B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC，

∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，

故①正确.

②由(1)可知AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABC=2∠ADB，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，

故②正确.

③在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，

∴∠ADC+∠ABD=90°

∴∠ADC=90°−∠ABD，

故③正确；

④∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，

∴∠BAC+∠ABC=∠ACF，

∵∠BDC+∠DBC=12∠ACF，

∴∠BAC+∠ABC=∠BDC+∠DBC，

∵∠DBC=∠ABC，

∴∠BAC=∠BDC,即∠BDC=∠BAC.

故④错误.

故选C.

点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．