Question

小明拿两个大小不等直角三角板作拼图，如图①小三角板的斜边与大三角板直角边正好重合，已知： AD=1，∠B=∠ ACD=30°，

（1）A B的长=__________；四边形ABCD的面积=___________（直接填空）；

（2）如图②,若小明将小三角板ACD沿着射线AB方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿AB方向所经过的线段长度）．当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，直接写出相应的m的值．

（3）如图③，小明将小三角板ACD绕点A逆时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ACD为△AC′D′，在旋转过程中，设C′D′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接求出此时D’Q的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）AB=4，面积为；（2）1或3；（3）2-； ； +2.

【解析】试题分析：（1）根据30度的直角三角形的性质，求出AC、CD、AB、BC即可解决问题；

（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．求出DF、DE即可解决问题；

（3）分三种情形求解①如图3中，当BP=BQ时，②如图4中，当BQ=PQ时，③如图5中，当BP=BQ时，分别求解即可；

试题解析：（1）如图1中，

在Rt△ACD中，∵AD=1，∠ACD=30°，

∴AC=2CD=2，CD=AD=，

在Rt△ACB中，∵∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，BC=AC=2，

∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=×1×+×2×2= ．

（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．

∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF，

∴△ADF是等边三角形，

∴AF=AD=DF=CF=1，∵FE∥AB，

∴CE=EB，

∴EF=AB=2，

∴当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，相应的m的值为1或3．

（3）①如图3中，当BP=BQ时，在AD′上取一点E使得AE=EQ．

∵∠PBQ=30°，

∴∠AQD′=75°，∵∠AD′Q=90°，

∴∠EAQ=∠EQA=15°

∴∠QED′=30°，设D′Q=x，则AE=EQ=2x，ED′=x，

∴2x+x=1，

∴x=2-，

∴D′Q=2-．

②如图4中，当BQ=PQ时，易知∠AQD′=60°，D′Q=AD•tan30°=．

③如图5中，当BP=BQ时，易知∠AQC′=∠C′AQ=15°，∴AC′=C′Q，∴D′Q=D′C+C′Q′=．

综上所述，当△PBQ是等腰三角形时，D′Q的值为2-或 或．

【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、30度的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．