Question

有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是；

第二个数是；

第三个数是；

…

对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．

（1）经过探究，我们发现：

设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？

请你直接写出正确的结论；

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；

（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，

求证：．

Answer

（1）第5个；（2）；证明过程见解析；（3）证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；

（3）将每个分式根据﹣=＜＜=﹣，展开后再全部相加可得结论．

试题解析：（1）由题意知第5个数a==；

（2）∵第n个数为，第（n+1）个数为，

∴+=（+）=×=×=，

即第n个数与第（n+1）个数的和等于；

（3）∵1﹣=＜=1，

=＜＜=1﹣，

﹣=＜＜=﹣，

…

﹣=＜＜=﹣，

﹣=＜＜=﹣，

∴1﹣＜+++…++＜2﹣，

即＜+++…++＜，

∴．

考点：（1）分式的混合运算；（2）规律型；（3）数字的变化类