Question

如图，AB是⊙O的直径，D为圆周上任一点，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

（1）求证：；

（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF；作CG⊥AD于点G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根据边之间的关系可求得BE的值，再根据相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得到BC2=BE•AB，这样便求得BC的值，注意负值要舍去．

试题解析：（1）连接AC，如图

∵C是弧BD的中点

∴∠BDC=∠DBC

又∵∠BDC=∠BAC

在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB

∴∠BCE=∠BAC

∠BCE=∠DBC

∴CF=BF；

（2）作CG⊥AD于点G，

∵C是弧BD的中点

∴∠CAG=∠BAC，

即AC是∠BAD的角平分线．

∴CE=CG，AE=AG

在Rt△BCE与Rt△DCG中，

CE=CG，CB=CD

∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）

∴BE=DG

∴AE=AB-BE=AG=AD+DG

即6-BE=2+DG

∴2BE=4，即BE=2

又∵△BCE∽△BAC

∴BC2=BE•AB=12

BC=±2（舍去负值）

∴BC=2．

考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质．