Question

已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四边形ODFC是菱形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；

（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

试题解析：证明：（1）∵CF∥BD，

∴∠ODE=∠FCE，

∵E是CD中点，

∴CE=DE，

在△ODE和△FCE中，

，

∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，

∴OD=FC，

∵CF∥BD，

∴四边形ODFC是平行四边形，

在矩形ABCD中，OC=OD，

∴四边形ODFC是菱形．

考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定．