Question

如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？给出证明.

Answer

（1）详见解析；（2）△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形

【解析】(1)证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC．∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE．∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°．

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC＝∠CEA＝90°．

∴四边形ADCE为矩形．

(2)条件不唯一．例如，当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．

证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D，

∴∠ACD＝∠DAC＝45°．

∴DC＝AD．

由(1)知四边形ADCE为矩形，

∴矩形ADCE是正方形．