Question

【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）证明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

Answer

（1）证明见解析；

成立；证明见解析；

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．

②结论AM=DE+BM不成立．

【解析】分析：（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．

（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．

（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．

本题解析：（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．

∴△ADE≌△NCE（AAS）

∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

∴△ABF≌△ADE（ASA）．∴BF=DE，∠F=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．

证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP．

∴△ADE≌△PCE（AAS）．∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．

②结论AM=DE+BM不成立．

证明：假设AM=DE+BM成立．过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．∵AQ⊥AE，

∴∠QAE=90°．∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴∠Q=90°﹣∠QAB=90°﹣∠DAE=∠AED．

∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB ∴∠Q=∠QAM．∴AM=QM．∴AM=QB+BM．∵AM=DE+BM，∴QB=DE．

∴△ABQ≌△ADE（AAS）∴AB=AD．与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．

∴AM=DE+BM不成立．

点睛：本题是四边形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，考查了基本的模型构造：平行和中点构造全等三角形.有较强的综合性.