Question

如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0°< <360°）得到正方形，如图2．

①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；（注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度）

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．

                             

     图1                  图2

Answer

（1）证明见解析；（2）①（1）30°或150°②AF′长的最大值是，此时α=315°.

【解析】（1）如图1，延长ED交AG于点H．

∵O为正方形ABCD对角线的交点．∴OA=OD，OA⊥OD．

∵OG=OE，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO=∠DEO．

∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠DEO+∠GAO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG．

（2）①在旋转过程中，∠成为直角有以下两种情况：

（i）α由0°增大到90°过程中，当∠为直角时，

∵，∴在Rt△中， ，

∴∠∵OA⊥OD，∴∠DOG′=90°－∠=30°，即α=30°．

（ii）α由90°增大到180°过程中，当∠为直角时，

同理可求的∠AOG′=30°，所以α=90°+∠=150°．

综上，当∠为直角时，α=30°或150°．

②AF′长的最大值是，此时α=315°．理由：当AF′长的最大时，点F′在直线AC上，如图所示：

∵AB=BC=CD=AD=1，∴AC=BD=，AO=OD=．

∴OE′=E′F′=2OD=．∴OF′=．∴AF′=AO+OF′=．

∵∠E′OF′=45°∴旋转角α=360°-45°=315°．

点睛：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．