Question

一个直角三角形的两条直角边分别长3cm,4cm，则它的内心和外心之间的距离为________

Answer

【解析】

如图，E为直角三角形ABC的内心，F为直角三角形ABC的外心，

过E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，过F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，

则ER=ET，∠C=∠ERC=∠ETC=90°

∴ERCT是正方形，

∴ER=RC=CT=ET，

∵∠FMC=∠C=∠NTC=90°

∴四边形MCTN是矩形，

∴CT=MN，CM=NT，

∵F为AB中点，FM∥BC，

∴M为AC中点，

∴FM=BC=1.5，MC=AM=2，

设直角三角形ABC的内切圆的半径是r，

则ER=RC=CT=ET，

根据切线长定理得：3−r+4−r=5，

r=1，

即ER=RC=CT=ET=MN=1，

∴MR=2−1=1，

在Rt△ENF中，EN=MR=1，FN=1.5−1=0.5，由勾股定理得：EF==，

故答案为：.

点睛：本题考查了勾股定理、切线长定理、三角形的外接圆与外心、三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的性质和判定、矩形的性质和判定等知识点的综合运用，综合性比较强，有一定的难度.