Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．

（1）求证：CD⊥AB；

（2）在（1）中画△ABC的角平分线AE，交CD于点F，试判断∠AEC与∠CFE的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）画图见解析，∠AEC=∠CFE，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，由∠ACD=∠B，从而可得∠ACD+∠A=90°，继而∠ADC=90°，问题得证；

（2）利用尺规作图的方法作出角平分线AE，然后利用直角三角形两锐角互余，从而可得.

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AB；

（2）如图所示；

∠AEC=∠CFE，理由如下：

∵∠ACE=90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∵∠ADC=90°，∴∠EAD+∠AFD=90°，∵∠CAE=∠EAD，∴∠AEC=∠AFD，∵∠CFE=∠AFD，∴∠AEC=∠ CFE.

点睛：本题主要考查直角三角形两锐角互余、垂直的定义等，能够正确地识图，从中找到需要的条件是解题的关键.