Question

已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．

求证：（1）；（2）为等边三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．

（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．

证明：(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)

∴FA=EC(等量加等量和相等).

∵△DEF是等边三角形(已知)，

∴EF=DE(等边三角形的性质).

又∵AE=CD(已知)，

∴△AEF≌△CDE(SSS).

(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(对应角相等)，

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代换)

△DEF是等边三角形(已知)，

∴∠DEF=60°(等边三角形的性质)，

∴∠BCA=60°(等量代换)，

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中,AB=BC(等角对等边).

∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定).