Question

问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）

特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．

归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．

拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．

Answer

证明见解析，∠BAD＝18°

【解析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．

归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；

拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．

【解析】
特例探究：

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，

在△ABD与△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS）；

归纳证明：

△ABD与△CAE全等．理由如下：

∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，

∴∠DBA=∠EAC=120°．

在△ABD与△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展应用：

∵点O在AB的垂直平分线上，

∴OA=OB，

∴∠OBA=∠BAC=50°，

∴∠EAC=∠DBC．

在△ABD与△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠BDA=∠AEC=32°，

∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．

点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及等边三角形的性质，综合运用所学知识是解题的关键.