Question

已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.

（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=              ；

（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=             ；

（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）

（4）若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=（30°<<90°） ，求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）

Answer

（1）∠OGA=21°；

（2）∠OGA=14°；

（3）∠OGA=；

（4）∠OGA的度数为或

【解析】试题分析：（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（4）讨论：当∠EOD：∠COE=1：2时，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=β+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=β+90°，则∠OGA=β+15°；当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得∠OGA=β-15°．

试题解析：(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，

∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，

∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°，

∴∠GAD=∠BAD=66°，∠EOA=∠BOA=45°，

∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=66°−45°=21°；

故答案为21°；

(2)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，

∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，

∵∠BOA=90°,∠GOA=∠BOA,∠GAD=∠BAD

∴∠GAD=44°，∠EOA=30°，

∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=44°−30°=14°；

故答案为14°；

(3)∵∠BOA=90°，∠OBA=α，

∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α，

∵∠BOA=90°，∠GOA=∠BOA,∠GAD=∠BAD

∴∠GAD=30°+α，∠EOA=30°，

∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=α，

故答案为：α；

(4)当∠EOD:∠COE=1:2时，

则∠EOD=30°，

∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，

∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD=∠BAD，

∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，

∴2×30°+2∠OGA=α+90°，

∴∠OGA=α+15°；

当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°，

同理得到∠OGA=α−15°，

即∠OGA的度数为α+15°或α−15°.

点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，页考查了三角形外角的 性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.当研究的角比较多时，要设法利用三角形外角的性质将它们转化到一个三角形中去.