Question

抛物线y₁=ax²+bx+c的对称轴是x=3,与x轴的一个交点为（5,0）；它与直线y₂=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a﹣c=0；  ④当或时，y₁＞y₂，其中正确的个数有

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】①∵二次函数开口向上，

∴a>0，

∵二次函数与y轴交于正半轴，

∴c>0，

∵二次函数对称轴在y轴右侧，

∴b<0，

∴abc<0，

所以此选项正确；

②由图象可知：二次函数与x轴交于两点分别是(1,0)、(5,0)，

当x=1时，y=0，则a+b+c=0，

所以此选项错误；

③∵二次函数对称轴为：x=3,则=3，b=−6a，

代入a+b+c=0中得：a−6a+c=0，5a−c=0，

所以此选项正确；

④由图象得：当x<或x>6时, y1＞y2；

所以此选项正确。

故选：C

点睛：本题综合考查了二次函数和一次函数的图形及性质，熟练掌握二次函数的性质是关键：二次函数系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数c由抛物线与y轴交点的位置确定，利用两个函数图象再坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围.