Question

已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，

（1）证明四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

Answer

见解析

【解析】试题分析：（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．

（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．

试题解析：（1）证明：∵BD垂直平分AC，

∴AB=BC，AD=DC，

在△ADB与△CDB中，

，

∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，

∵∠BCD=∠ADF，

∴∠BAD=∠ADF，

∴AB∥FD，

∵BD⊥AC，AF⊥AC，

∴AF∥BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

（2）【解析】
∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，

∴▱ABDF是菱形，

∴AB=BD=5，

∵AD=6，

设BE=x，则DE=5-x，

∴AB2-BE2=AD2-DE2，

即52-x2=62-（5-x）2

解得：x=，

∴，

∴AC=2AE=．

考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．