Question

如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）已知直线的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线于点H，连结OP，试求△OPH的面积；

②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线的垂线，垂足为点E，F．是否在线段BC存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）① ②存在满足条件的点P，点P坐标为：（7﹣4，4）

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①如答图1，作辅助线，利用关系式S△OPH=S△OMH-S△OMP求解；②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．

试题解析：（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：

， 解得 ．

∴抛物线的函数解析式为：

（2）①当m=0时，直线：y=x．

∵抛物线对称轴为x=1，

∴CP=1．

如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，

∴OM=OC+CM=5．

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）2﹣OM•CP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，

∴S△OPH=．

②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．

设直线与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）．

假设存在满足条件的点P．如答图2所示，此时PE=4．

若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，

∵∠OGD=135°，

∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，

设GE=GF=t，则GK=FK=EH=t，

∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，

∴PE=PH+EH=t+t+t=4，

解得t=4﹣4，则OE=3﹣t=7﹣4，

∴P2（7﹣4，4）

另外，PE=EF,EF=PF不可能。

综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（7﹣4，4）。

综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（7﹣4，4）

点睛：本题考查了二次函数的图形与性质、待定系数法、图形面积、勾股定理、角平分线性质等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想.第（2）问中涉及到了复杂的分类讨论，使得试题的难度较大.