Question

观察下列关于自然数的等式：

    a₁：3²-1²=8×1；

    a₂：5²-3²=8×2；  

    a₃：7²-5²=8×3；……

根据上述规律解决下列问题：

（1）写出第a₄个等式：___________；

（2）写出你猜想的第a_n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；

（3）对于正整数k，若a_k，a_k+1，a_k+2为△ABC的三边，求k的取值范围．

Answer

（1）92—72=8×4；（2）（2n+1)2-（2n-1)2=8n（n为正整数）.验证见解析；（3）k>1且k为正整数.

【解析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律.

【解析】
a4应为92—72=8×4；

（2）规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n（n为正整数）.

验证：（2n+1)2-（2n-1)2＝[(2n+1)+（2n-1)] [(2n+1)-（2n-1)] =4n×2=8n；

由（2）可知，ak=8k，ak+1=8（k+1），ak+2=8（k+2），

易知8k<8（k+1）<8（k+2），要使它们能构成一个三角形，则必须有8k+8（k+1）>8（k+2），解得k>1．

所以k的取值范围是k>1且k为正整数.

“点睛”此题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出来变化规律是此题目中的难点.