Question

试解答下列问题：

(1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：                   ；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是      个；

(3) 在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求∠P的度数；

(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠B与∠P、∠D之间数量关系                                 ．

Answer

（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）38°；（4）2∠P=∠D+∠B；

【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数；

（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B．

【解析】
（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；

②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；

③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；

④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；

⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；

⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6个；

故答案为：6；

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，

又∵∠D=40度，∠B=36度，

∴2∠P=40°+36°，

∴∠P=38°；

（4）关系：2∠P=∠D+∠B

由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①

由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②

①+②得：

∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1，

∠D+2∠B=2∠P+∠B，

即2∠P=∠D+∠B．

故答案为：2∠P=∠D+∠B．

考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．