Question

如图一：在Rt△ABC中，∠C=90°AD、BE分别是△ABC中∠A、∠B的平分线，AD、BE交于点F，过F点做FH⊥AD交AC于点H，易证：AH+DB=AB;

（1）若将Rt△ABC中∠BAC、∠ABC的内角平分线改成外角平分线，即：AF、BF分别是∠BAC、∠ABC的外角平分线交于F点，FH⊥AF交直线AC于H点，如图二:请写出线段AH、BD、AB之间的数量关系，并证明。

（2）若将Rt△ABC中∠BAC、∠ABC的内角平分线改成一个是外角平分线，即：AF是∠A的内角平分线，BE是∠B的外角平分线交于F点，FH⊥AD交AC于点H.如图三：请写出线段AH、BD、AB之间的数量关系，无需证明。

Answer

(1) AH=AB+BD ,证明见解析;(2) AH=AB+BD

【解析】(1)的结论是：AH=AB+BD

(2)的结论是：AH=AB+BD

(1)的结论证明如下：

∵AF平分∠BAH

∴∠BAF=∠HAF

∵AF⊥HM

∴△HAF≌△MAF

∴AH=AM ∠AHF=∠M

∵AF平分∠BAH

∴∠ABF=∠FBN

∵∠AHF+∠HAF=90°

∵∠DAC+∠ADB=90°

∴∠ADB=∠AHF

∴∠FDB=∠BMF

∴△DFB≌△MFB

∴DB=BM

∵AM=AB+BM

∴AH=AB+DB