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在▱ABCD中,点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点,AP∥CQ,AD=BD....

在▱ABCD中,点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点,AP∥CQ,AD=BD.

(1)如图①,求证:BP+BQ=BC;

(2)请直接写出图②,图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系,不需要证明;

(3)在(1)和(2)的条件下,若DQ=1,DP=3,则BC=______.

 

(1)证明见解析;(2)图②:BQ﹣BP=BC, 图③:BP﹣BQ=BC;(3)BC=2或4. 【解析】分析:(1)根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ,得BQ=PD,由AD=BD=BC得:BC=BD=BP+PD=BP+BQ;(2)图②,证明△ABP≌△CDQ,得PB=DQ,根据线段的和得结论;图③,证明△ADP≌△CBQ,得PD=BQ,同理得出结论;(3)分别代入图①和图②条件下的BC,计算即可. 本题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB=∠CBD, ∵AP∥CQ,∴∠APQ=∠CQB,∴△ADP≌△CBQ, ∴DP=BQ, ∵AD=BD,AD=BC,∴BD=BC,∵BD=BP+DP,∴BC=BP+BQ; (2)图②:BQ﹣BP=BC,理由是: ∵AP∥CQ,∴∠APB=∠CQD, ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB, ∴∠ABP=∠CDQ,∵AB=CD, ∴△ABP≌△CDQ,∴BP=DQ, ∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP; 图③:BP﹣BQ=BC,理由是: 同理得:△ADP≌△CBQ, ∴PD=BQ, ∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ; (3)图①,BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4, 图②,BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2, ∴BC=2或4.  
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