Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，根据条件先证明OC∥AD，然后证出OC⊥CD即可；（2）先利用勾股定理求出AE的长，再根据条件证明△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例求出OC的长，再根据BE=AE﹣2OC计算即可．

试题解析：（1）证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵OC为⊙O半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）【解析】
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==15，

∵OC∥AD，

∴△ECO∽△EDA，

∴

∴

解得：OC=，

∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×=，

答：BE的长是．

考点：切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理．