Question

已知如图，动点P在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上运动，点A点B分别在X轴，Y轴上，且OA=OB=2，PM⊥X轴于M，交AB于点E，PN⊥Y轴于点N，交AB于F；

（1）当点P的纵坐标为时，连OE，OF，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；

（2）动点P在函数 y=﹣（x＜0）的图象上移动，它的坐标设为P（a，b） （﹣2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．

Answer

（1）E（﹣，）；F（﹣，）；S△E0F=；

（2）以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形

【解析】试题分析：（1）分别求得点P、点E、点F的坐标，然后即可求得三角形EOF的面积；（2）由条件知△AOB是等腰直角三角形，则△AME，△EPF，△FNB均为等腰直角三角形，然后表示出AE2、BF2、EF2=（PE）2得到AE2+BF2=EF2，利用勾股定理即可判定直角三角形．

试题解析：(1)由条件知A(−2,0),B(0,2)，易求得直线AB的解析式为：y=x+2

又∵点P在函数y=−2x上,且纵坐标为，

∴P(, )

把x=代入y=x+2中得y=，

∴E(,)

把y=代入y=x+2中得x=−

∴F(−，)

S△E0F=S△AOF−S△AOE=×|−2|×−×|−2|×=

(2)以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形。

理由如下：

由条件知△AOB是等腰直角三角形，则△AME，△EPF，△FNB均为等腰直角三角形，又−2