Question

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线 y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是

A. -4＜k＜    B. -2＜k＜

C. -4＜k＜    D. --2＜k＜

Answer

A

【解析】由图可知，∠AOB=60°，

∴直线OA的解析式为y=x，联立，

消掉y得，x²-x+k=0,△=（-）²-4×1×k=0，即k=时，

抛物线与OA有一个交点，解得：x=，即交点的横坐标为，

∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（1， ）

∵<1,∴交点在线段AO上；

当抛物线经过点B（2，0）时，4+k=0，解得k=-4，

∴要使抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是：-4＜k＜．故选A．

点睛：根据∠AOB=60°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．