Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，BP=____________．

Answer

4

【解析】如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°．

设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，

在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，

∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4．

故答案为4．

点睛：本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．