Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；

（2）连结OC，如果PD=，∠ABC=，求OC的长．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）OC=

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据OA=OD得出∠DAO=∠ADO，根据切线的性质得出PD⊥OD，从而说明OD∥BE，得出∠E=∠ADO，则∠E=∠DAO，从而说明答案；（2）根据OD∥BE，∠ABC=60°得出∠DOP=∠ABC=60°，根据tan∠DOP的值得出OD，OP和PB的长度，根据sin∠ABC的值得出PC和DC的长度，最后根据Rt△ODC的勾股定理求出OC的长度.

试题解析：（1）连结OD.

∵OA=OD，∴，

∵PD切⊙O于点D，∴PD⊥OD，

∵BE⊥PD， ∴OD∥BE，

∴，

∴，

∴AB=BE.

（2）∵OD∥BE，∠ABC=，

∴，

∵ PD⊥OD，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

∴（舍负）.

考点：（1）圆的基本性质；（2）。三角函数；（3）勾股定理