Question

如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是AO上一个动点，过点P作AC的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP＝x，△OMN的面积为y， 表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的周长为

A. 2    B.     C. 4    D.

Answer

B

【解析】在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=2AO，

∵AC=2BD，

∴AO=BD，

设AO=a，

∵MN⊥AC，

∴MN∥BD，

∴△AMN∽△ABD，

∴，即，解得MN=x，

∴△OMN的面积为y=MN•PO=x（a-x）=-（x2-ax）=-（x-a）2+a2，

由图2可知，当x=时，y的最大值为a2，

∴a=，解得a=1，

∴AO=1，BO=BD=，

在Rt△AOB中，AB===

∴菱形的周长=×4=．故选B．