Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣ ），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；

（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　     　个；

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

Answer

抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，顶点坐标（，﹣）．

（2）PB+PD的最小值为

（3）①5

②取值范围是

【解析】二次函数的表达式有三种方法，这题很明显可以用顶点式以及交点式更方便些；这一题根据边的关系得出∠ABO=30°非常重要，根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半把所要求的边转化，再根据点到直线垂线段最短求得最小值；第三问ABMN组成菱形，只有AB是定点，所以要讨论AB是邻边还是对角线；最后一问与圆的知识相结合，有一定的难度，主要根据∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分线与y轴的交点为圆心F，以FA为半径，则弧AB所对的圆周角为60°，与对称轴的两个交点即为t的取值范围。

【解析】
（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得

∴

∴顶点坐标为

方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得。

如图，过P点作DE⊥AB于E点，由题意已知∠ABO=30°。

∴

∴

要使最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DE⊥AB于E点，与y轴的交点即为P点。

由题意易知，∠ADE=∠ABO=30°，

①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2，

若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图

若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点。

综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个。

②如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点。

由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°

∴以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M'点，则∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°

∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1

∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，过F点作FG⊥MM'于G点，已知FG=

∴，又∵G

∴M（，M'

∴

方法二：设M，M到点F的距离d=AF=也可求得．

“点睛”本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定解析式，学会利用垂线最短解决实际问题中 的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题.