Question

（13分）如图1，已知：正比例函数y=k₁x的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）B（m，n）．我们可以发现：反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．你可以利用这一结论解决问题．

（1）填空：k₁=，a=      ，m=       ，n=         ；

（2）利用所给函数图象，写出不等式k₁x＜的解集：                 ；

（3）如图2，正比例函数y=k₂x（k₂≠k₁）的图象与反比例函数y=的图象交于点P、Q，以A、B、P、Q为顶点的四边形记为代号“图形※”．

①试说明：图形※一定是平行四边形，但不可能是正方形；

②如图3，当P点在A点的左上方时，过P作直线PM⊥y轴于点M，过点A作直线AN⊥x轴于点N，交直线PM于点D，

若四边形OADP的面积为6．求P点的坐标．

Answer

（1）a=6，m=－3，n=－2；（2）x＜﹣3或0＜x＜3；（3）图形※不可能是菱形，也就不可能是正方形；P（1．5，4）．

【解析】

试题分析：直接把点A（3，2）代入一次函数及反比例函数的解析式求出k1及a的值，再根据反比例函数的图象关于原点对称可得出m、n的值；直接根据两函数的图象即可得出结论；①利用“反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形”得：OA=OB，OP=OQ，故图形※的对角线互相平分，图形※是平行四边形；由点A、P都在第一象限可知∠AOP＜∠xoy，即∠AOP＜90°，对角线AB与PQ不可能互相垂直，故图形※不可能是菱形，也就不可能是正方形．②设点P（c，d），依题意可得四边形OMDN是矩形，故可得出OM×PM=6，ON×AN=6，根据S矩形OMDN=S四边形OADP+S△OPM+S△OAN可得出其面积，由S矩形OMDN=ON•OM可求出ON•OM的值，由此可得出结论．

试题解析：（1）∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2），

∴3k1=2，解得k=，2=，解得a=6． ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴B（﹣3，﹣2）， ∴m=﹣3，n=﹣2．

（2）∵A（3，2）B（﹣3，﹣2）， ∴当x＜﹣3或0＜x＜3时，k1x＜．

（3）①∵反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形， ∴OA=OB，OP=OQ，

∴图形※的对角线互相平分，图形※是平行四边形；

∵点A、P都在第一象限， ∴∠AOP＜∠xoy，即∠AOP＜90°，对角线AB与PQ 不可能互相垂直，

∴图形※不可能是菱形，也就不可能是正方形．

②设点P（c，d），依题意可得四边形OMDN是矩形． ∵P和A都在双曲线y=上，

∴O M×PM=6，ON×AN=6， ∴S△OPM=S△OAN=×6=3，又S四边形OADP=6，

∴S矩形OMDN=S四边形OADP+S△OPM+S△OAN=6+3+3=12， 又∵S矩形OMDN=ON•OM， ∴ON•OM=12，

∵ON=3， ∴OM=4，即d=4， ∴4=，c=1．5， ∴点P的坐标为（1．5，4）．

考点：反比例函数综合题．