Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF

（1）如图1当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；  ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）CF-CD=BC；（3）①CD-CF=BC，②2．

【解析】

试题分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；

（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；

（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．

试题解析：证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴AB=AC，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

则在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，

∵BD+CD=BC，

∴CF+CD=BC；

（2）CF-CD=BC；

（3）①CD-CF=BC

②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴AB=AC，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，

∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD，

∵∠ABC=45°，

∴∠ABD=135°，

∴∠ACF=∠ABD=135°，

∴∠FCD=90°，

∴△FCD是直角三角形．

∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．

∴DF=AD=4，O为DF中点．

∴OC=DF=2．

考点：四边形综合题．