Question

在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为，求直线MN的表达式（用含、的代数式表示）；

（3）在抛物线的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数的图象上，直线AB经过点P(，)，求此抛物线的表达式．

Answer

（1）不一定（2）直线MN的表达式为y=﹣x+m+n（3）抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1

【解析】

试题分析：（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；

（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；

（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．

试题解析：（1）不一定，

设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．

①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，

②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．

则有解得，

∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；

（3）设点A（p，q），则，

∵直线AB经过点P（，），由（2）得，

∴p+q=1，

∴，

解并检验得：p=2或p=﹣1，

∴q=﹣1或q=2，

∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），

将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，

∴解得 ，

∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．

考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、待定系数法求一次函数解析式；3、待定系数法求二次函数解析式