Question

如图，直线与抛物线相交于A、B两点，与轴交于点M，M、N关于轴对称，连接AN、BN．

（1）①求A、B的坐标；

②求证：∠ANM=∠BNM；

（2）如图，将题中直线变为，抛物线变为，其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．

Answer

（1）①（-，），（ 1，2）②证明见解析（2）∠ANM=∠BNM成立

【解析】

试题分析：（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；

（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，设A、B，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．

试题解析： （1）①由已知得2x2=x+1，解得x=-或x=1，

当x=-时，y=，当x=1时，y=2，

∴A、B两点的坐标分别为（-，），（ 1，2）；

②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，

由①及已知有A（-，），B（ 1，2），且OM=ON=1，

∴tan∠ANM==，tan∠BNM=，

∴tan∠ANM=tan∠BNM，

∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，

①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，

∴∠ANM=∠BNM；

②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设A、B．

如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，

由题意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，

∴，，

∵=====0∴，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．

考点：二次函数综合题