Question

正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与不重合)，以为顶点在所在直线的上方作.

(1)当经过点时，

①请直接填空：    （可能，不可能）过点；（图1仅供分析）

②如图2,在上截取，过点作垂直于直线,垂足为点，册于，求证：四边形为正方形.

（2）当不过点时，设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点，使得，连接，求四边形的最大面积.

 

Answer

（1）①不可能②证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；

②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；

（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△CBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．

试题解析： （1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，

∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，

∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，

∴ON不可能过D点，

故答案为：不可能；

②∵EH⊥CD，EF⊥BC，

∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，

∴四边形EFCH为矩形，

∵∠MON=90°，

∴∠EOF=90°﹣∠AOB，

在正方形ABCD中，∠BAO=90°﹣∠AOB，

∴∠EOF=∠BAO，

在△OFE和△ABO中

∴△OFE≌△ABO（AAS），

∴EF=OB，OF=AB，

又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，

∴CF=EF，

∴四边形EFCH为正方形；

（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，

∴△PKO∽△OBG，

∵S△PKO=4S△OBG，

∴=（）2=4，

∴OP=2，

∴S△POG=OG•OP=×1×2=1，

设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=1，

∴b=，

∴S△OBG=ab=a==，

∴当a2=时，△OBG有最大值，此时S△PKO=4S△OBG=1，

∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．

考点：1、矩形的判定和性质，2、全等三角形的判定和性质，3、相似三角形的判定和性质，4、三角形的面积，5、二次函数的性质，6、方程思想