已知抛物线，其中，且. （1）直接写出关于的一元二次方程的一个根；（2）证明：...

已知抛物线，其中，且.

（1）直接写出关于的一元二次方程的一个根；

（2）证明：抛物线的顶点在第三象限；

（3）直线与轴分别相交于两点，与抛物线相交于两点.设抛物线的对称轴与轴相交于,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点,使得与相似.并且，求此时抛物线的表达式.

（1）x=1（2）证明见解析（3）y=x2+2x﹣3 【解析】试题分析：（1）根据a+b+c=0，结合方程确定出方程的一个根即可；（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0，表示出c，判断顶点坐标即可；（3）根据表示出的b与c，求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m与x，y轴交于B，C两点，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC为等腰直角三角形，确定出三角形三角形ADE面积，根据三角形ADF等于三角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物线解析式．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，a+b+c=0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；（2）证明：∵2a=b， ∴对称轴x=﹣=﹣1，把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a， ∵a＞0，c＜0， ∴△=b2﹣4ac＞0， ∴＜0，则顶点A（﹣1，）在第三象限；（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x==，解得：x1=﹣3，x2=1，二次函数解析式为y=ax2+2ax﹣3a， ∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|， ∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=﹣1的夹角∠BAE=45°， ∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似，顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=﹣1，设对称轴x=﹣1与OF交于点G， ∵直线y=x+m过顶点A（﹣1，﹣4a）， ∴m=1﹣4a， ∴直线解析式为y=x+1﹣4a，联立得：，解得：或，这里（﹣1，﹣4a）为顶点A，（﹣1，﹣4a）为点D坐标，点D到对称轴x=﹣1的距离为﹣1﹣（﹣1）=，AE=|﹣4a|=4a， ∴S△ADE=××4a=2，即它的面积为定值，这时等腰直角△ADF的面积为1， ∴底边DF=2，而x=﹣1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由﹣1=0，解得：a=1，此时抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．考点：1、二次函数的图象与性质，2、二次函数与一次函数的关系，3、待定系数法求函数解析式

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考点分析：

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正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与不重合)，以为顶点在所在直线的上方作.

(1)当经过点时，

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②如图2,在上截取，过点作垂直于直线,垂足为点，册于，求证：四边形为正方形.

（2）当不过点时，设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点，使得，连接，求四边形的最大面积.

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某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.

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