Question

规定：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：

①方程是倍根方程；

②若关于的方程是倍根方程，则a=±3；

③若关于x的方程是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）；

④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程

上述结论中正确的有（   ）

A.①②              B.③④           C.②③             D.②④

Answer

C

【解析】

试题分析：①由x2﹣2x﹣8=0，得

（x﹣4）（x+2）=0，

解得x1=4，x2=﹣2，

∵x1≠2x2，或x2≠2x1，

∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．

故①错误；

②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，

∴设x2=2x1，

∴x1•x2=2x12=2，

∴x1=±1，

当x1=1时，x2=2，

当x1=﹣1时，x2=﹣2，

∴x1+x2=﹣a=±3，

∴a=±3，故②正确；

③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，

∴x2=2x1，

∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，

∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），

故③正确；

④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，

∴mn=4，

解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，

∴x2=4x1，

∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；

故选：C．

考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、根的判别式；3、根与系数的关系；4、抛物线与x轴的交点